Question

如图，已知点A（11，0），函数y=

x+1

的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．

Answer 1

分析：（ I）S_△APH=

1

2

PH×AH．其中AH=OA-OH，OH等于P的横坐标，P的纵坐标即为|PH|=t，利用函数解析式可求OH．得出面积的表达式．
（ II）由（ I），面积为f(t)=

1

2

(12-t2)t，0＜t＜2

3

．利用导数工具研究单调性，求出最值．

解答：解：（ I）由已知可得

x+1

=t，所以点P的横坐标为t²-1，
因为点H在点A的左侧，所以t²-1＜11，即-2

3

＜t＜2

3

．
由已知t＞0，所以0＜t＜2

3

，
所以AH=11-（t²-1）=12-t²，
所以△APH的面积为f(t)=

1

2

(12-t2)t，0＜t＜2

3

．
（ II）f′(t)=6-

3

2

t2=-

3

2

(t+2)(t-2)，
由f'（t）=0，得t=-2（舍），或t=2．
函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况如右图：
所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8．

点评：本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．