Question

6．如图，点F₁，F₂为椭圆E：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的两个焦点，点A，B为椭圆E的两个顶点．
（1）若Rt△F₁F₂C的直角顶点C在椭圆E上的第一象限内，求点C的坐标；
（2）设直线l：x=4，过点A作倾斜角为30°的直线m分别交直线l及椭圆E于点P，Q，求△BPQ的面积S．

Answer 1

分析 （1）椭圆E中，可写出a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，从而设C（x，y），从而可得x²+y²=3，$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，从而解得；
（2）由题意可得直线AQ方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x+2）$，从而与椭圆E方程联立解得x_Q=$-\frac{2}{7}$，从而写出点Q$（-\frac{2}{7}，\frac{4}{7}\sqrt{3}）$与点$P（4，2\sqrt{3}）$的坐标，从而求面积．

解答 解：（1）椭圆E中，a²=4，b²=1，c²=3，
F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
A（-2，0），B（2，0），设C（x，y），
∵∠F₁CF₂=90°，∴OC=OF₂=$\sqrt{3}$，则x²+y²=3．
又$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，二者联立解得x²=$\frac{8}{3}$，y²=$\frac{1}{3}$．
∵点C在第一象限内，x＞0，y＞0，
∴$x=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$． 即C（$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）． 
（2）直线AQ方程为：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x+2）$，
与椭圆E方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立得，
7x²+16x+4=0，
即（7x+2）（x+2）=0．
∴x_Q=$-\frac{2}{7}$．则Q$（-\frac{2}{7}，\frac{4}{7}\sqrt{3}）$，又$P（4，2\sqrt{3}）$，
∴△BPQ的面积S=S_△ABP-S_△ABQ=$\frac{1}{2}×4×（2\sqrt{3}-\frac{4}{7}\sqrt{3}）=\frac{20}{7}\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的方程的应用及直线与圆锥曲线的位置关系应用，属于中档题．