Question

如图△ABC中，A（0，1），B（-2，2），C（2，6）．
（1）写出△ABC区域D（阴影部分且包括边界）所表示的二元一次不等组；
（2）已知点（x，y）∈D，求z=2x+y的取值范围．

Answer 1

解：（1）设直线AB的方程为：kx-y+b=0，而A（0，1），B（-2，2）在直线AB上，则，解得，b=1，从而直线AB的方程为x+2y-2=0；
同理，直线BC的方程为x-y+4=0，直线AC的方程为5x-2y+2=0，
∴原点（0，0）不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得△ABC区域D（包括边界）所表示的二元一次不等组为：…（6分）
（2）令z=0，作出2x+y=0的图象，通过平移2x+y=0可知：…（7分）
z=2x+y经过点B时，截距最小，此时z=-4+2=-2；…（9分）
z=2x+y经过点C时，截距最大，此时z=4+6=10，…（11分）
所以z的取值范围是[-2，10]…（12分）
分析：（1）通过三点可求出三条直线的方程，而后利用特殊点验证．因三条直线均不过原点，故可由原点（0，0）验证即可．
（2）先根据（1）画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值与最小值即可．
点评：本题考查两点式求直线的方程、通过特殊点验区域对应的不等式，考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．