Question

9．已知向量$\overrightarrow a=（2，2，0）$，$\overrightarrow b=（-2，0，2）$，若存在单位向量$\overrightarrow n$，使$\overrightarrow n⊥\overrightarrow a$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow b$，则$\overrightarrow n$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 设单位向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），又$\overrightarrow n⊥\overrightarrow a$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow b$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}=1}\\{2x+2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$，解出x，y，z，即可得出．

解答 解：设单位向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），又$\overrightarrow n⊥\overrightarrow a$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow b$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}=1}\\{2x+2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$，
解得x=z=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-y，
∴$\overrightarrow{n}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
故答案为：$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

点评 本题考查了单位向量、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．