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5.如图,过圆O外一点M作圆的切线,切点为A,过A作AP⊥OM于P.
(1)求证:OM•OP=OA2
(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.求证:∠OKM=90°.

分析 (1)在三角形OAM中考虑,因为MA是圆O的切线,所以OA⊥AM,从而由射影定理即得;
(2)结合(1)问的结论,利用比例线段证明两个三角形△ONP、△OMK相似,通过对应角相等即可得.

解答 证明:(1)因为MA是圆O的切线,
所以OA⊥AM,又因为AP⊥OM,
在Rt△OAM中,由射影定理知OA2=OM•OP,
故OM•OP=OA2得证.
(2)因为BK是圆O的切线,BN⊥OK,同(1)有:
OB2=ON•OK,又OB=OA,
所以OM•OP=ON•OK,即$\frac{ON}{OP}=\frac{OM}{OK}$,
又∠NOP=∠MOK,
所以△ONP~△OMK,
故∠OKM=∠OPN=90°.
即有:∠OKM=90°.

点评 本题考查的高考考点是圆的有关知识及应用、切割线定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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