Question

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=仅有一个零点，求实数k的取值范围．
（Ⅲ）若f（x）＞t（x-1）（t∈Z）对任意x＞1恒成立，求t的最大值．

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，
故f′（e）=3，
即a+lne+1=3，
∴a=1．
（2）∵
=1+lnx+，
∴=，（x＞0）
令g′（x）=0，解得，或x=2，
列表如下

x	（0，）		（）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值 4-ln2-k	↓	极小值	↑

由于x→0时，g（x）→-∞，x→+∞，g（x）→+∞，
要使g（x）仅有一个零点，则必须
，或，
∴k＞4-ln2，或k＜，
∴k∈．
（3）由x+xlnx＞t（x-1）在x＞1时恒成立，
即t＜在x＞1恒成立，
令p（x）=（x＞1），，
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
则，
∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，
h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x₀，且满足x₀∈（3，4），
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，∴，
函数p（x）在（1，x₀）上单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，∴，
函数p（x）在（1，x₀）上单调递增，
∴，
∵h（x₀）=0，即x₀-lnx₀-2=0，
∴lnx₀=x₀-2．
∴=x₀∈（3，4），
∴t＜=x₀∈（3，4），
故t的最大值为3．
分析：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（a）=3，由此能求出a．
（2）由=1+lnx+，知=，（x＞0），令g′（x）=0，解得，或x=2，列表讨论能求出k的范围．
（3）由x+xlnx＞t（x-1）在x＞1时恒成立，即t＜在x＞1恒成立，令p（x）= （x＞1），，由此能够求出t的最大值．
点评：此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道难题．