Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

3

）-

1

2

（0≤x≤

4π

3

）的零点为x₁、x₂、x₃（x₁＜x₂＜x₃），则cos（x₁+2x₂+x₃）=

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由f（x）=sin（2x+

π

3

）-

1

2

=0⇒sin（2x+

π

3

）=

1

2

，依题意，可求得x₁=

π

4

，x₂=

11π

12

，x₃=

5π

4

，从而可求得cos（x₁+2x₂+x₃）的值．

解答： 解：由f（x）=sin（2x+

π

3

）-

1

2

=0得：sin（2x+

π

3

）=

1

2

，
∵0≤x≤

4π

3

，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤3π，
∴2x+

π

3

=

5π

6

或2x+

π

3

=

13π

6

或2x+

π

3

=

17π

6

，
解得x₁=

π

4

，x₂=

11π

12

，x₃=

5π

4

，
∴x₁+2x₂+x₃=

10π

3

，
∴cos（x₁+2x₂+x₃）=cos

10π

3

=cos（4π-

2π

3

）=cos（-

2π

3

）=cos

2π

3

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查正弦函数的图象与性质，求得x₁=

π

4

，x₂=

11π

12

，x₃=

5π

4

是关键，考查函数零点的应用，考查运算求解能力，属于中档题．