Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），则S_2n+1=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• B． $\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n+1}}$）
• C． $\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{{4}^{n}}$）
• D． $\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{{4}^{n+1}}$）

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，L），S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n}}$，即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n=1，2，3，…），
则S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n}}$，
=$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{4}{3}$$[1-（\frac{1}{4}）^{n+1}]$．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．