解:(1)连接AC、BD交于点O,连接PO,则PO⊥面ABCD,(1分)
∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角,∴tan∠PAO=
.(2分)
设AB=1,则PO=AO•tan∠PAO=
=
.(3分)
设F为AD中点,连FO、PF,
易知OF⊥AD,PF⊥AD,所以∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角.(4分)
在Rt△POF中,
,
∴∠PFO=60°,即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为60°;(5分)
(2)连接EO,由于O为BD中点,E为PB中点,所以,EO
.
∴∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角.(6分)
在Rt△POD中,
.∴
.(7分)
由AO⊥BD,AO⊥PO可知AO⊥面PBD.所以,AO⊥EO(8分)
在Rt△AOE中,
,
即异面直线PD与AE所成角的正切值为
.(9分)
分析:(1)连接AC、BD交于点O,连接PO,则PO⊥面ABCD,则∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角,设AB=1,则可得则PO=AO•tan∠PAO
设F为AD中点,连FO、PF,易知OF⊥AD,PF⊥AD,所以∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角,在Rt△POF中可求∠PFO
(2)容易证明EO
.可得∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角,在Rt△AOE中求解
点评:本题主要考查了直线与平面所成角及二面角的平面角的求解,解决问题(1)的关键是要找到与已知平面垂直的直线,从而把线面角转化为线线角,还要注意线面角的范围:
;解决问题(2)的关键是要寻求与已知异面直线平行的直线,从而把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,其范围:(0,