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3.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为矩形,AB⊥平面AA1D1D,CD⊥平面AA1D1D,E、F分别为A1B1、CC1的中点,且AA1=CD=2,AB=AD=1.
(1)求证:EF∥平面A1BC;
(2)求D1到平面A1BC1的距离.

分析 (1)取A1B的中点O,连接OE,OC,证明四边形OECF是平行四边形,可得EF∥OC,即可证明EF∥平面A1BC;
(2)利用等体积法求D1到平面A1BC1的距离.

解答 (1)证明:取A1B的中点O,连接OE,OC,则OE平行且等于$\frac{1}{2}$BB1
∵F为CC1的中点,∴CF平行且等于$\frac{1}{2}$CC1
∴OE平行且等于CF,
∴四边形OECF是平行四边形,
∴EF∥OC,
∵EF?平面A1BC,OC?平面A1BC,
∴EF∥平面A1BC;
(2)解:△A1BC1中,A1B=A1C1=$\sqrt{5}$,BC1=$\sqrt{6}$,∴面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{5-(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$.
设D1到平面A1BC1的距离为h,则$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{21}}{2}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$
∴h=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$.
即D1到平面A1BC1的距离为$\frac{4\sqrt{21}}{21}$.

点评 本题考查线面平行的判断,考查点到平面的距离,正确求体积是关键.

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