Question

如图，已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，如果它们的面是全等的三角形，把它们拼起来，使一个表面重合，所得的多面体有多少个面?

 

Answer 1

答案：
解析：

分析  正四面体和正八面体的一个表面重合，那么就要讨论正四面体的其他三个面与正八面体的其他面有何关系，为此我们要来求一下正四面体与正八面体相邻的两个面所成二面角的大小．为此，只要分别求出正八面体相邻两个侧面所成二面角大小和正四面体相邻两个侧面所成二面角大小就可以了． 解  正八面体ABCDEF中，BE中点为G，AF平面BCDE＝O，连接AG、FG、OG． 　　∵  AF⊥平面BCDE， 　　∴  OG是AG、FG在平面BCDE的射影． 　　∵  BE⊥OG 　　∴  ∠AGF是二面角A—BE—F的平面角． 　　Rt△AOG中，OG＝，，． 　　cos∠AGF＝cos2∠AGO＝2∠AGO－1＝． 　　正八面体相邻侧面所成二面角为p －arccos，正四面体P—QRS中，T是PS中点． 　　∠QTR是二面角Q－PS－R的平面角． 　　△QRT中，QT＝RT＝， 　　cos∠QTR＝ 　　　　　　  　　当把PSQ面与BEF面重叠，PS与BE重合，点G与T重合，∠AGF＋∠QTR＝p ，ABE面与RPS面拼成一个平面．同理，PQS面与DEF面，RPQ面与BCF面都分别拼成一个平面．因此正八面体与正四面体拼成的一个多面体是七面体．