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已知函数f(x)=
x2
x-2
(x∈R,且x≠2).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=x2-2ax与函数f(x)在x∈[0,1]上有相同的值域,求a的值.
考点:函数单调性的性质,函数的单调性及单调区间
专题:计算题,函数的性质及应用
分析:(1)f(x)=
x2
x-2
=(x-2)+
4
x-2
+4,令x-2=t,结合y=t+
4
t
+4的单调性,即可求f(x)的单调区间;
(2)由题意,x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0],确定最小值只能为g(1)或g(a),即可求a的值.
解答: 解:(1)f(x)=
x2
x-2
=(x-2)+
4
x-2
+4,…(2分)
令x-2=t,由于y=t+
4
t
+4在(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增,在(-2,0),(0,2)内单调递减,
∴求得f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(4,+∞);单调递减区间为(0,2),(2,4).…(6分)
(2)∵f(x)在x∈[0,1]上单调递减,∴其值域为[-1,0],
即x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0].…(8分)
∵g(0)=0为最大值,∴最小值只能为g(1)或g(a),…(9分)
若g(1)=-1,则
a≥1
1-2a=-1
⇒a=1;
若g(a)=-1,则
1
2
≤a≤1
-a2=-1
⇒a=1.
综上得a=1…(12分)
点评:本题考查函数的单调性,考查函数的值域,考查学生分析解决问题的能力,难度中等.
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①因为(4+3i)-(2+3i)=2>0,所以4+3i>2+3i;
②由
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a
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两边同除
a
,可得
b
=
c

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④演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.
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已知数列{an}的前n项和Sn=n2
(1)求{an}的通项公式an
(2)设bn=
1
anan+1
,求证b1+b2+b3+…+bn
1
2

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2
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1
5

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