Question

11．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+k（$\frac{2}{x}$+lnx）（k为常数）．
（1）当k=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k≥0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{x{e}^{x}-2{e}^{x}}{{x}^{3}}$，从而可得f（1）=e，f′（1）=-e，从而确定切线方程；
（2）求导f′（x）=（x-2）$\frac{{e}^{x}+kx}{{x}^{3}}$，从而判断导数的正负以确定函数的单调性；
（3）求导f′（x）=（x-2）$\frac{{e}^{x}+kx}{{x}^{3}}$，从而可得h（x）=e^x+kx在（0，2）内存在两个零点，从而化为y=e^x与y=-kx的图象在（0，2）内有两个交点，从而利用数形结合求解．

解答 解：（1）当k=0时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，f′（x）=$\frac{x{e}^{x}-2{e}^{x}}{{x}^{3}}$，
故f（1）=e，f′（1）=-e，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=-e（x-1），
即切线方程为：ex+y-2e=0；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+k（$\frac{2}{x}$+lnx）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x{e}^{x}-2{e}^{x}}{{x}^{3}}$+k（-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）=（x-2）$\frac{{e}^{x}+kx}{{x}^{3}}$，
∵k≥0，且x∈（0，+∞），∴$\frac{{e}^{x}+kx}{{x}^{3}}$＞0，
故当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；
（3）由（2）知，f′（x）=（x-2）$\frac{{e}^{x}+kx}{{x}^{3}}$，
∵$\frac{x-2}{{x}^{3}}$＜0在（0，2）上恒成立，
又∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，
∴h（x）=e^x+kx在（0，2）内存在两个零点，
∴y=e^x与y=-kx的图象在（0，2）内有两个交点，
作y=e^x与y=-kx的图象如图，
相切时，设切点为（x，e^x），
则$\frac{{e}^{x}}{x}$=e^x，
故x=1；
故k₁=e；
k₂=$\frac{{e}^{2}-0}{2-0}$=$\frac{{e}^{2}}{2}$，
故e＜-k＜$\frac{{e}^{2}}{2}$，
故-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜k＜-e．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了导数的几何意义的应用．