【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
的左焦点为
,离心率为
,过点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆的左、右顶点,若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
.
①求证:;
②求面积的最大值.
【答案】(1);(2)(ⅰ)见解析;(ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程,求得的值,从而得到椭圆方程;(II)方法一:(i)分直线
的斜率是否为0讨论,当
时,设
,直线
的方程为
,联立椭圆方程,结合判别式求得
的范围,从而由
使问题得证;(ii)由
=
结合(ⅰ)用韦达定理写出表达式,利用基本不等式求出最大值;方法二:(i)由题意知直线
的斜率存在,设其方程为
,联立椭圆方程,由判别式求得
的取值范围,从而由
使问题得证;(ii)由弦长公式求得
,用点到直线的距离求得边
上的高线长,从而得到
的表达式,进而用换元法求解.
试题解析:解:(1), 又
,
所以.
所以椭圆的标准方程为
(2)(i)当AB的斜率为0时,显然,满足题意
当AB的斜率不为0时,设,AB方程为
代入椭圆方程
整理得,则
,所以
,
,即
(ii)
当且仅当,即
.(此时适合△>0的条件)取得等号.
三角形
面积的最大值是
方法二(i)由题知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为:,
设,联立
,整理得
,
则,所以
,
,即
(ii)
点到直线
的距离为
,
=
.
令,则
,
当且仅当,即
(此时适合△>0的条件)时,
,即
三角形
面积的最大值是
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【题目】已知抛物线E:x2=2py(p>0),直线y=kx+2与E交于A、B两点,且
=2,其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)点C坐标为(0,﹣2),记直线CA、CB的斜率分别为k1 , k2 , 证明:k12+k22﹣2k2为定值.
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【题目】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,B是钝角,且 a=2bsinA.
(1)求B的大小;
(2)若△ABC的面积为 ,且b=7,求a+c的值;
(3)若b=6,求△ABC面积的最大值.
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【题目】2000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯((Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为,
为地面直径,顶角为
,那么不过顶点
的平面;与
夹角
时,截口曲线为椭圆;与
夹角
时,截口曲线为抛物线;与
夹角
时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线
,过
的平面截圆锥得到的曲线为椭圆,其中与
的交点为
,可知
为长轴.那么当
在线段
上运动时,截口曲线的短轴顶点的轨迹为( )
A. 圆的部分 B. 椭圆的部分 C. 双曲线的部分 D. 抛物线的部分
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为:
,直线
的参数方程是
(
为参数,
).
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线
交于两点
,且线段
的中点为
,求
.
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【题目】在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB= b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
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【题目】已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.
(1)若a=b,求cosB的值;
(2)若B=60°,△ABC的面积为4 ,求b的值.
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