Question

对于正整数n．证明：f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍数．

Answer 1

分析：利用数学归纳法来证明，当n=1时，命题成立，再假设当n=k时，f（k）=3^2k+2-8k-9能够被64整除，证明当n=k+1时，命题也成立．

解答：证明：（1）当n=1时，f（1）═3⁴-8-9=64能被64整除，命题成立．
（2）假设当n=k时，f（k）=3^2k+2-8k-9能够被64整除．      
当n=k+1时，f（k+1）=3^2k+4-8（k+1）-9=9[3^2k+2-8k-9]+64k+64=9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）
∵f（k）=3^2k+2-8k-9能够被64整除，
∴f（k+1）=9[3^2k+2-8k-9]+64（k+1）能够被64整除．                    
即当n=k+1时，命题也成立．
由（1）（2）可知，f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除，即f（n）=3²ⁿ⁺²-8n-9是64的倍数．

点评：本题考查数学归纳法的运用，解题的关键正确运用数学归纳法的证题步骤，属于中档题．