Question

在等差数列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，其中S_n是数列{a_n}的前n项之和，曲线C_n的方程是+=1，直线l的方程是y=x+3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；   
（2）判断C_n与l的位置关系；
（3）当直线l与曲线C_n相交于不同的两点A_n，B_n时，令M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，求M_n的最小值．
（4）对于直线l和直线外的一点P，用“l上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线l的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的．若曲线C_n与直线l不相交，试以类似的方式给出一条曲线C_n与直线l间“距离”的定义，并依照给出的定义，在C_n中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线l的“距离”．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差数列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，可求首项与公差，从而可求求数列{a_n}的通项公式；
（2）将曲线C_n与l的方程联立，利用判别式可求解；
（3）利用（2）的结论，表达出M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，再求M_n的最小值；
（4）根据条件可类比得：若曲线C_n与直线l不相交，曲线C_n与直线l间“距离”是：曲线C_n上的点到直线l距离的最小值．
由（2）知n=5时，曲线C₅为圆，n=3，4时，曲线C_n为椭圆．以椭圆为例，利用参数法可解．
解答：解：（1）∵S₅-a₅=-14，∴S₄=-14，
又∵a₄S₄=-14，∴a₄=1，
∵S₄=-14=，
∴a₁=-8，，
∴a_n=3n-11．
（2），
由题意，知△=16（|a_n|²-5|a_n|）＞0，即|a_n|＞5，
∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即或n＜2，
即n≥6或n=1时，直线l与曲线C_n相交于不同的两点．
（3）由（2）当n≥6或n=1时，直线l与曲线C_n相交于不同的两点．M_n=（|a_n|+4）•|A_nB_n|==，
∴n=6时，M_n的最小值为．
（4）若曲线C_n与直线l不相交，曲线C_n与直线l间“距离”是：曲线C_n上的点到直线l距离的最小值．
曲线C_n与直线l不相交时，△=16（|a_n|²-5|a_n|）＜0，即0＜|a_n|＜5，即|3n-11|＜5，
∴n=3，4，5，
∵n=5时，曲线C₅为圆，
∴n=3，4时，曲线C_n为椭圆．
选n=3，椭圆为，设椭圆上任一点M，它到直线l的距离：，
∴椭圆C₃到直线l的距离为．  （椭圆C₄到直线l的距离为）
点评：本题以数列为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，关键是利用直线与圆锥曲线联立，借助于判别式进行解决．