Question

17．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a，PB=$\sqrt{3}$a，PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a，且PD是四棱锥的高．
（1）在四棱锥内翻入一球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．

Answer 1

分析 （1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解；
（2）（2）四棱锥可补成正方体，其直径为PB=$\sqrt{3}$a，故可求四棱锥外接球的半径．

解答 解：（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，
设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R
∵V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC
∴$\frac{1}{3}•a•a•a$=$\frac{1}{3}$R（2×$\frac{1}{2}•a•a$+2×$\frac{1}{2}•a•\sqrt{2}a$）
∴R=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a．
∴球的最大半径为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a
（2）四棱锥可补成正方体，其直径为PB=$\sqrt{3}$a，故四棱锥外接球的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

点评 本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点．“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，