Question

如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB．CD．CC₁的中点．
（1）求直线 A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG．

Answer 1

分析：（1）欲求直线 A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AC为A₁C在平面ABCD的射影，故∠A₁CA为A₁C与平面ABCD所成角，最后在直角三角形中求解即得；
（2）欲证平面AB₁D₁∥平面EFG，根据面面平行的判定定理可知，只须证明线面平行即可．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中连接BD，则DD₁∥BB₁，DD₁=BB₁，利用直线间的平行关系可证得：D₁B₁∥平面GEF及AB₁∥平面GEF，从而问题解决．

解答：解：（1）∵A₁C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中A₁A⊥平面ABCD
∴AC为A₁C在平面ABCD的射影
∴∠A₁CA为A₁C与平面ABCD所成角sinA1CA=

A1A

A1C

=

3

3

正方体的棱长为a∴AC=

2

a，A₁C=

3

a
证明：（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
连接BD，则DD₁∥BB₁，DD₁=BB₁，
∴D₁DBB₁为平行四边形
∴D₁B₁∥DB
∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD∴EF∥D₁B₁
∵EF?平面GEF，D₁B₁?平面GEF
∴D₁B₁∥平面GEF
同理AB₁∥平面GEF
∵D₁B₁∩AB₁=B₁
∴平面AB₁D₁∥平面EFG．

点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角、平面与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．