Question

（本题12分）已知四棱锥P－ABCD的直观图与三视图如图所示

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E为侧棱PC的中点，求证：PA//平面BDE.

（3）若E为侧棱PC上的动点，不论E在何位置，是否都有？证明你的结论.

Answer 1

（1）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ∴。……………4分

(2)连接BE,DE，AC，设，连接OE，在△PCA中，∵点E、点O为PC、AC的中点，∴∵OE平面BDE, PA平面BDE, ∴PA//平面BDE. ……8分

(3) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE。

证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形。

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC,

又∵ ,AC平面PAC, PC平面PAC  ∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC 。

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE 。……………12分