Question

16．已知函数f（x）=lnx+1的图象与直线y=x-a+2015恰有一个公共点，关于x的不等式log_a$\frac{x+1}{x-1}$＞log_a$\frac{m}{x+2}$在[1，+∞）上恒成立．则实数m的取值范围是（0，2$\sqrt{6}$+5）．

Answer 1

分析 先根据f（x）=lnx+1与直线y=x-a+2015相切得出a的值，在根据不等式恒成立得出$\frac{x+1}{x-1}与\frac{m}{x+2}$的关系，转化为函数的值域问题求解．

解答 解：∵函数f（x）=lnx+1的图象与直线y=x-a+2015恰有一个公共点，∴y=x-a+2015是函数f（x）=lnx+1的切线，
设切点坐标为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{f′（{x}_{0}）=1}\\{f（{x}_{0}）={x}_{0}-a+2015}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=1，a=2015．
∴log₂₀₁₅$\frac{x+1}{x-1}$＞log₂₀₁₅$\frac{m}{x+2}$在[1，+∞）上恒成立，∴$\frac{x+1}{x-1}$＞$\frac{m}{x+2}$＞0在[1，+∞）恒成立，
即0＜m＜$\frac{（x+1）（x+2）}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{（x+1）（x+2）}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}+3x+2}{x-1}$=x-1+$\frac{6}{x-1}$+5，则g（x）≥2$\sqrt{6}$+5，当且仅当x-1=$\frac{6}{x-1}$即x=1+$\sqrt{6}$时取等号．
∴0＜m＜2$\sqrt{6}$+5．
故答案为（0，2$\sqrt{6}$+5）．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数的最值，基本不等式及函数恒成立问题，属于中档题．