Question

6．已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数
（Ⅰ）若f（x）在区间[-2，2]上是增函数，求实数k的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在非正实数k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，当k=0时，当k≠0时，结合函数的对称轴，即可讨论函数f（x）在区间[-2，2]上的单调递增情况．
（Ⅱ）分类讨论，当k=0时，当k＜0时，分类讨论，结合函数的对称轴，即可讨论函数f（x）在区间[-1，4]上的单调性，即可明确取最大值的状态，再计算．

解答 解：（Ⅰ）f（x）在区间[-2，2]上是增函数，f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数，
当k=0时，f（x）=3x+3，故f（x）在[-2，2]上是增函数，满足题意，
当k≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{-\frac{3+k}{2k}≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{-\frac{3+k}{2k}≥2}\end{array}\right.$，
解得0＜k≤1，或-$\frac{3}{5}$≤k＜0，
综上所述k的取值范围为[-$\frac{3}{5}$，1]．
（Ⅱ）当k=0时，f（x）=3x+3，此时f（x）在[-1，4]上是增函数，
∴f（x）_max=f（4）=12+3=15≠4，
当k＜0时，f（x）图象是开口向下，对称轴方程为x=-$\frac{3+k}{2k}$的抛物线，
当-$\frac{3+k}{2k}$≤-1时，即k≥3，与k＜0矛盾，
当-$\frac{3+k}{2k}$≥4时，即-$\frac{1}{3}$≤k＜0时，函数f（x）在[-1，4]上单调递增，
∴f（x）_max=f（4）=16k+4（3+k）+3=4，
解得k=-$\frac{11}{20}$＜-$\frac{1}{3}$，k不存在，
当-1＜-$\frac{3+k}{2k}$＜4时，即k＜-$\frac{1}{3}$时，函数f（x）在[-1，-$\frac{3+k}{2k}$]上单调递增，在[-$\frac{3+k}{2k}$，4]上单调递减，
∴f（x）_max=f（-$\frac{3+k}{2k}$）=（-$\frac{3+k}{2k}$）²k+（-$\frac{3+k}{2k}$）（3+k）+3=4，
即k²+10k+9=0，
解饿k=-1或k=-9，
综上所述k的值为-1或-9．

点评 本题主要考查函数最值的求法，基本思路是：二次项系数位置有参数时，先分类讨论，再确定对称轴和开口方向，明确单调性，再研究函数最值．