Question

在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知a²-c²=b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=

2

．

Answer 1

分析：解法一：利用余弦定理分别表示出cosC和cosA，并利用正弦定理化简已知的等式sinAcosC=3cosAsinC，将表示出cosC和cosA代入，整理后再将a²-c²=b代入，可得出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值；
解法二：由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，变形后将a²-c²=b代入，再根据b不为0，两边除以b后，得到一个关系式，记作①，将sinAcosC=3cosAsinC两边都加上cosAsinC，左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，并根据正弦定理化简后，得到另外一个关系式，记作②，联立①②就求出b的值．

解答：解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
则由正弦定理及余弦定理有：
a•

a2+b2-c2

2ab

=3

b2+c2-a2

2bc

•c，
化简并整理得：2（a²-c²）=b²，
又a²-c²=b，
∴2b=b²，
解得：b=2或b=0（舍），
则b的值为2；
法二：由余弦定理得：a²-c²=b²-2bccosA，
又a²-c²=b，b≠0，
∴b=2ccosA+1①，
又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC，
sin（A+C）=4cosAsinC，
即sinB=4cosAsinC，
由正弦定理得sinB=

b

c

sinC，
∴b=4ccosA②，
由①②，解得b=2，
则b的值为2．
故答案为：2

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．