Question

设函数f（x）=

m

•

n

，其中

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2，b=1△ABC的面积为

3

2

，求c的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调递增区间即可确定出f（x）的单调递增区间；
（2）由f（A）=2，求出A的度数，再利用三角形面积公式列出关系式，即可求出c的值．

解答：解：（1）∵

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

π

6

或2A+

π

6

=

5π

6

，即A=0（舍去）或A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

c•

3

2

=

3

2

，
∴c=2．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角形面积公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．