Question

已知函数f（x）=2lnx+1的图象与直线y=2x-a恰好有一个交点，设g（x）=e^x-x²+a，当x∈[1，2]时，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  e2-1

  ]
• B、[

  e2-1

  ，e]
• C、[-e，

  e2+1

  ]
• D、[

  e2+1

  ，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：用导数求出曲线上某点切线方程，即可得到a的值，再利用导数求出函数g（x）=e^x-x²+a，当x∈[1，2]时的最值，再根据不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，求的m的范围

解答： 解：∵函数f（x）=2lnx+1的图象与直线y=2x-a恰好有一个交点，
∴直线y=2x-a与f（x）相切
设曲线的切点为P（x₀，y₀），
∵f′（x）=

2

x

，
∴f′（x₀）=

2

x0

=2，
∴x₀=1，
∴y₀=2lnx₀+1=1，
∴2-a=1，
∴a=1
∴g（x）=e^x-x²+1，
∴g′（x）=e^x-2x，x∈[1，2]
设h（x）=e^x-2x，x∈[1，2]
∴h′（x）=e^x-2＞0在[1，2]恒成立，
∴h（x）=e^x-2x，x∈[1，2]为增函数，
∴h（x）_min=h（1）=e-2＞0，
∴g′（x）＞0在[1，2]恒成立，
∴g（x）=e^x-x²+1在[1，2]为增函数，
∴g（1）≤g（x）≤g（2），
即e≤g（x）≤e²-3
∵当x∈[1，2]时，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立
∴

e≥-m e2-3≤m2-4

解得m≥

e2+1

故选：D．

点评：本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的集合意义，以及恒成立的问题，属于中档题