Question

（极坐标与参数方程）
已知直线l经过点P（2，1），倾斜角α=

π

4

，
（Ⅰ）写出直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与圆O：ρ=2相交于两点A，B，求线段AB的长度．

Answer 1

分析：（1）设直线l上任意一点为Q（x，y），根据直线的斜率公式与同角三角函数的商数关系，引入参数t可得y-1=

2

2

t且x-2=

2

2

t，由此即可得到直线l的参数方程；
（2）将圆O化为直角坐标下的标准方程得x²+y²=4，将l的参数方程代入，化简整理得t2+3

2

t+1=0．再利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式加以计算，可得求线段AB的长度．

解答：解：（1）设直线l上任意一点为Q（x，y），
∵直线l经过点P（2，1），倾斜角α=

π

4

，∴PQ的斜率k=

y-1

x-2

=tan

π

4

=

sin π 4

cos π 4

，
因此，设y-1=tsin

π

4

=

2

2

t，x-2=tcos

π

4

=

2

2

t，
可得直线l的参数方程为

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数）． 
（2）圆O的方程为ρ=2，平方得ρ²=4，即x²+y²=4，
将直线l的参数方程

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

代入x²+y²=4，整理得t2+3

2

t+1=0．
设A（2+

2

2

t₁，1+

2

2

t₁），B（2+

2

2

t₂，1+

2

2

t₂），
∴t1+t2=-3

2

，t₁t₂=1，
可得线段AB长为：
|AB|=

1 2 (t1-t2)2+ 1 2 (t1 -t22)

=

(t1-t2)2

=

(t1+t2)2-4t1t2

=

14

．

点评：本题将直线l的方程化成参数方程，并求直线被圆截得的弦长．着重考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．