Question

（2013•广州一模）已知经过同一点的n（n∈N^*，n≥3）个平面，任意三个平面不经过同一条直线．若这n个平面将空间分成f（n）个部分，则f（3）=

8

，f（n）=

n²-n+2

．

Answer 1

分析：两个平面把空间分成4个部分，增加一平面，与前两个平面不过同一直线，则第三个平面与前两个平面有两条交线，两条交线把第三个平面分成两个部分，每一部分将其所在的空间一分为二，则三个平面把空间分成8个部分，即f（3）=8=3²-3+2；类比此结论可得过同一点且不经过同一直线的n个平面把空间分成n²-n+2个部分．

解答：解：因为两个相交平面把空间分成四个部分，若第三个平面和前两相交平面经过同一点，且三个平面不过同一直线，则第三个平面与前两个平面的交线相交，这样能把空间分成8个部分，即f（3）=8=3²-3+2；
有n个面时，再添加1个面，与其它的n个面有n条交线，n条交线将此平面分成2n个部分，
每一部分将其所在空间一分为二，
则 f（n+1）=f（n）+2n．
利用叠加法，
则 f（n）-f（1）=[2+4+6+…+2（n-1）]
=

[2+2(n-1)](n-1)

2

=n2-n
∴f（n）=n²-n+2．
故答案为8，n²-n+2．

点评：本题考查了类比推理，类比推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，此题是基础题．