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某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的.第一个路口遇到红灯的概率是
1
4
,其余每个路口遇到红灯的概率都是
1
3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第二个路口时首次遇到红灯的概率;
(Ⅱ)假定这名学生在第二个路口遇到红灯,求这名学生在上学路上遇到红灯的次数X的分布列及期望.
考点:离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题:应用题,概率与统计
分析:(I)这名学生在上学路上到第二个路口时首次遇到红灯是指事件“这名学生在第一个路口没有遇到红灯,在第二个路口遇到红灯”,从而可求概率;
(II)确定变量的取值,根据独立重复试验的概率模型求出相应的概率,即可求X的分布列及期望.
解答: 解:(Ⅰ)设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件A,则所求概率为P(A)=
3
4
×
1
3
=
1
4
.…(4分)
(Ⅱ)因为由假定知道这名学生在第二个路口一定遇到红灯,所以上学路上遇到红灯的次数X的所有可能取值为1,2,3,4,…(6分)
对应的概率分别为:
P(X=1)=
3
4
×
2
3
×
2
3
=
12
36
,P(X=2)=
1
4
×
2
3
×
2
3
+
3
4
×
C
1
2
×
1
3
×
2
3
=
16
36

P(X=3)=
1
4
×
C
1
2
×
1
3
×
2
3
+
3
4
×
C
2
3
×(
1
3
)2
=
7
36
,P(X=4)=
1
4
×
1
3
×
1
3
=
1
36

∴X的分布列为
X1234
P
12
36
16
36
7
36
1
36
…(10分)
∴EX=1×
12
36
+2×
16
36
+3×
7
36
+4×
1
36
=
23
12
.…(12分)
点评:本题以实际问题为载体,考查相互独立事件的概率,离散型随机变量的期望与方差,考查学生分析解决问题的能力.
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x2
2!
+
x3
3!
+…+
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(n∈N*)
,p(x)=
ex-gn(x)
x
(e是自然对数的底)
(1)当n=1时,判断函数p(x)有没有零点,并说明理由;
(2)当n=2时,求函数f(x)=
p(x),x≠0
0,x=0
的最小值;
(3)数列{an}的通项为an=(
2
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