Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）试作出平面PAB与平面PCD的交线EP（不需要说明画法和理由）；
（Ⅱ）求证：直线EP⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角C-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长BA，CD，交于点E，由此作出平面PAB与平面PCD的交线EP．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线EP⊥平面PBC．
（Ⅲ）求出平面PBC的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）延长BA，CD，交于点E，连结EP，
由此作出平面PAB与平面PCD的交线EP．
证明：（Ⅱ）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
AB⊥AD，AD∥BC，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1，
∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
E（0，-2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，0），
$\overrightarrow{EP}$=（0，2，2），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），
$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{PB}$=0+4-4=0，$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{PC}$=0+4-4=0，
∴EP⊥PC，EP⊥PB，
又PC∩PB=P，∴直线EP⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
D（1，0，0），$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-2），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{m}=2b-2c=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}=a-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，1），
设二面角C-PB-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-PB-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查两平面交线的作法，考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．