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1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AD∥BC,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AB=BC=2,AD=1.
(Ⅰ)试作出平面PAB与平面PCD的交线EP(不需要说明画法和理由);
(Ⅱ)求证:直线EP⊥平面PBC;
(Ⅲ)求二面角C-PB-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)延长BA,CD,交于点E,由此作出平面PAB与平面PCD的交线EP.
(Ⅱ)以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明直线EP⊥平面PBC.
(Ⅲ)求出平面PBC的法向量和平面PBD的法向量,利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值.

解答 解:(Ⅰ)延长BA,CD,交于点E,连结EP,
由此作出平面PAB与平面PCD的交线EP.
证明:(Ⅱ)∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,
AB⊥AD,AD∥BC,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AB=BC=2,AD=1,
∴以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
E(0,-2,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(2,2,0),
$\overrightarrow{EP}$=(0,2,2),$\overrightarrow{PB}$=(0,2,-2),$\overrightarrow{PC}$=(2,2,-2),
$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{PB}$=0+4-4=0,$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{PC}$=0+4-4=0,
∴EP⊥PC,EP⊥PB,
又PC∩PB=P,∴直线EP⊥平面PBC.
解:(Ⅲ)设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$,取y=1,得$\overrightarrow{n}$=(0,1,1),
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
D(1,0,0),$\overrightarrow{PD}$=(1,0,-2),
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{m}=2b-2c=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}=a-2c=0}\end{array}\right.$,取b=1,得$\overrightarrow{m}$=(2,1,1),
设二面角C-PB-D的平面角为θ,
则cosθ=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴二面角C-PB-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查两平面交线的作法,考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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