已知数列{an}中.．若是函数的一个极值点． (Ⅰ)证明数列是等比数列.并求数列的通项公式, (Ⅱ)记.当t=2时.数列的前n项和为Sn.求使Sn>2008的n的最小值, (Ⅲ)当t=2时.求证:对于任意的正整数n.有 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）已知数列{a_n}中，（t>0且t≠1）．若是函数的一个极值点．

（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，当t=2时，数列的前n项和为S_n，求使S_n>2008的n的最小值；

（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有。

【答案】

解：分析：利用是函数的一个极值点求出与的关系式，从而加以证明第（1）问，而第（2）问的解决关键在于运用等比数列的求和公式，再利用函数的单调性得出n的最小值。第（3）问中先将拆项并求和，通过观察与分析得出指数函数g（x）的表达式。

（Ⅰ）．由题意，即

，∴，

∵且，∴数列是以为首项，t为公比的等比数列，

以上各式两边分别相加得，∴，

当时，上式也成立，∴

（Ⅱ）当t=2时，

由，得，，

当，

因此n的最小值为1005．

（Ⅲ）∵

【解析】略

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