Question

下列命题中正确的有

 

．（填写所有正确命题的序号）
①在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
②若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB；
③若数列{a_n}为等差数列，则数列a_n+2a_n+1仍为等差数列；
④若数列{a_n}为等比数列，则数列a_n+2a_n+1仍为等比数列；
⑤当x∈(0，

π

2

]时，y=sinx+

2

sinx

的最小值是2

2

．

Answer 1

分析：①由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B．②因为△ABC为锐角三角形所以A+B＞

π

2

所以A＞

π

2

-B两边取正弦可得的答案．③设a_n=a₁+（n-1）d所以b_n=a_n+2a_n+1所以b_n-b_n-1=3d=常数，④设a_n=a₁(-

1

2

)n-1所以b_n=a_n+2a_n+1=a₁q^n-1+2a₁qⁿ=0⑤设t=sinx，则t∈（0，1]所以y=t+

2

t

≥2

2

显然等号取不到．

解答：解：①由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B故①正确．
②因为△ABC为锐角三角形所以A+B＞

π

2

所以A＞

π

2

-B则sinA＞cosB，故②正确．
③设a_n=a₁+（n-1）d所以b_n=a_n+2a_n+1=a₁+（n-1）d+2a₁+2nd=3a₁+（3n-1）d所以b_n-b_n-1=3d=常数，所以③正确．
④设a_n=a₁(-

1

2

)n-1所以b_n=a_n+2a_n+1=a₁q^n-1+2a₁qⁿ=0所以④不正确．
⑤设t=sinx，则t∈（0，1]所以y=t+

2

t

≥2

2

当且仅当t=±

2

时取等号，因为t∈（0，1]所以⑤错误．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查正弦定理解决三角形问题与等差数列等比数列定义的应用，解决此类问题的关键是熟悉正弦定理与数列的有关定义．解决基本不等式问题要注意运用条件一正二定三相等．