Question

（文）如果方程x²+y²+2mx-4y+5m=0表示一个圆，
（1）求m的取值范围；
（2）当m=0时的圆与直线l：kx-y+2

3

k=0相交，求直线l的倾斜角的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将方程配方后，根据此方程表示一个圆，利用二元二次方程表示圆的条件列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）将m=0代入（1）的圆方程中，确定圆的方程，找出圆心坐标和半径r，由直线l与圆相交得到圆心到直线的距离小于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可得到倾斜角的范围．

解答：解：（1）将方程配方得（x+m）²+（y-2）²=m²-5m+4，
∵方程表示圆，
∴m²-5m+4＞0，
解得：m＜1或，m＞4，
∴m的取值范围为（-∞，1）∪（4，+∞）；
（2）当m=0时，圆的方程为x²+（y-2）²=4，
∵直线与圆相交，
∴

|2 3 k-2|

k2+1

＜2，
解得0＜k＜

3

，
设直线l的倾斜角为α，则0＜tanα＜

3

，
又α∈[0，π），
∴0＜α＜

π

3

，
∴直线l的倾斜角的取值范围为（0，

π

3

）．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，点到直线的距离公式，以及直线斜率与倾斜角的关系，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离．