Question

【题目】 ．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）当x∈（﹣1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知f（﹣x）=﹣f（x）

∴ =﹣

∴﹣ax+b=﹣ax﹣b，∴b=0

∵ ，∴a=1

∴

（2）解：当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增，证明如下：

∵ ，x∈（﹣1，1）

∴f′（x）＞0，∴当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增

（3）解：∵f（2x﹣1）+f（x）＜0，且f（x）为奇函数

∴f（2x﹣1）＜f（﹣x）

∵当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增，

∴

∴

∴不等式的解集为（0， ）

【解析】（1）利用函数为奇函数，可得b=0，利用 ，可得a=1，从而可得函数f（x）的解析式；（2）利用导数的正负，可得函数的单调性；（3）利用函数单调增，函数为奇函数，可得具体不等式，从而可解不等式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．