Question

已知函数f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）当a=1时，求函数f（x）在x∈[-3，0]的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（x）=2•4^x-2^x-1，令t=2^x，则f（t）=2t²-t-1，由x∈[-3，0]可知

1

8

≤t≤1，结合二次函数的性质可求
（2）由题意可得方程2at²-t-1=0在（0，+∞）上有解，结合二次函数的性质可考虑分类讨论：①当a=0时②当a＜0时，③当a＞0三种情况讨论可求

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2•4^x-2^x-1，
令t=2^x，则f（t）=2t²-t-1，
∵x∈[-3，0]
∴

1

8

≤t≤1，f（t）=2(t-

1

4

)2-

9

8

当t=

1

4

时，函数有最小值-

9

8

，当t=1时，函数有最大值0
故值域为[-

9

8

，0]
（2）关于x的方程f（x）=0有解，等价于
方程2at²-t-1=0在（0，+∞）上有解
记f（t）=2at²-t-1（t＞0）
①当a=0时，解为t=-1，不成立
②当a＜0时，开口向下，对称轴t=

1

4a

＜0，过点（0，-1），可得根都为负数，不成立
③当a＞0时，开口向上，对称轴t=

1

4a

＞0，过（0，-1），必有一个根为正
综上得，a＞0

点评：本题主要考查了利用换元求解二次函数在闭区间上的最值，及二次方程的实根分布的应用，属于综合试题