Question

如图，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则BC的长为

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：连OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可计算出r=

3

2

，再利用勾股定理，即可求出BC的长．

解答： 解：连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，
∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，
∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴

AD

AB

=

AE

AD

，
∵AD=2，AE=1，
∴

2

1+2r

=

1

2

，
∴r=

3

2

，
∵∠B=90°，∴CB为⊙O切线，
∴CB²+AB²=AC²，
∴CB²+4²=（2+CB）²，
∴CB=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点，考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．