Question

已知△ABC中，满足

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，a，b，c分别是△ABC的三边．
（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．
（2）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可得

CA

•

CB

=0，故△ABC是以∠C为直角的直角三角形，sinA+sinB=

2

sin（A+

π

4

）∈(1 ， 

2

]．
（2）原不等式等价于k≤

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

 对任意的a，b，c均成立，右边=

1

c3sinAcosA

[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+

sinA+cosA+1

sinAcosA

，令t=sinA+cosA(t∈(1，

2

])，则f(t)=t+

t+1

t2-1 2

=t-1+

2

t-1

+1，利用基本不等式求出f（t）的最小值，即可得到f（t）的范围．

解答：解：（1）∵

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

=

AB

•（

AC

-

BC

）+

CA

•

CB

=

AB

2+

CA

•

CB

，
∴

CA

•

CB

=0，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)∈(1，

2

]．（5分）
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于k≤

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

 
对任意的a，b，c均成立．
∵右边=

1

c3sinAcosA

[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+

sinA+cosA+1

sinAcosA

．（8分）
令t=sinA+cosA(t∈(1，

2

])，则f(t)=t+

t+1

t2-1 2

=t-1+

2

t-1

+1，
∴当t=

2

时，f(t)min=3

2

+2，（11分） 故 k∈[ 3

2

+2 ，+∞)． （12分）

点评：本题考查正弦定理，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，两个向量垂直的条件，是一道中档题．