已知椭圆C的中心在原点.焦点在x轴上.离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.且以长轴和短轴为对角线的四边形的面积为6．(1)求椭圆C的方程,作直线l与该椭圆交于M.N两点.与y轴交于点R.若$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$.$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$.求λ+� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且以长轴和短轴为对角线的四边形的面积为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆交于M，N两点，与y轴交于点R，若$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$，求λ+μ的值．

分析（1）由题意设出椭圆C的方程，结合已知和隐含条件列式求出长半轴和短半轴的长，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，把$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$转化为坐标表示，代入根与系数的关系求得λ+μ的值．

解答解：（1）设椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\{\frac{1}{2}•2a•2b=6}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a=3，b=1，
故椭圆的方程是：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（9k²+1）x²-18k²x+9k²-9=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{18{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{k}^{2}-9}{9{k}^{2}+1}$，
而R（0，-k）．
由$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，有：（x₁，y₁+k）=λ（1-x₁，y₁），故$λ=\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，
由$\overrightarrow{RN}$=μ$\overrightarrow{NQ}$，有：（x₂，y₂+k）=μ（1-x₂，y₂），故$μ=\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$．
∴λ+μ=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{18{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}-\frac{2（9{k}^{2}-9）}{9{k}^{2}+1}}{1-\frac{18{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}+\frac{9{k}^{2}-9}{9{k}^{2}+1}}=\frac{18}{9{k}^{2}+1-18{k}^{2}+9{k}^{2}-9}$=$-\frac{9}{4}$．
故$λ+μ=-\frac{9}{4}$．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，把向量共线转化为坐标表示是解答该题的关键，是中档题．

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