Question

已知圆C：x²＋(y－2)²＝5，直线l：mx－y＋1＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
(2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）见解析    （2）x²＋(y－)²＝

(1)解法一：直线mx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x²＋(y－2)²＝5的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
解法二：联立方程，消去y并整理，得
(m²＋1)x²－2mx－4＝0.
因为Δ＝4m²＋16(m²＋1)>0，所以直线l与圆C总有两个不同交点．
解法三：圆心C(0,2)到直线mx－y＋1＝0的距离d＝＝≤1<，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，联立直线与圆的方程得(m²＋1)x²－2mx－4＝0，
由根与系数的关系，得x＝＝，
由点M(x，y)在直线mx－y＋1＝0上，当x≠0时，得m＝，代入x＝，得x[()²＋1]＝，
化简得(y－1)²＋x²＝y－1，即x²＋(y－)²＝.
当x＝0，y＝1时，满足上式，故M的轨迹方程为x²＋(y－)²＝.