Question

下列说法：
（1）回归直线 

∧

y

=-2x+5，则x每增加1个单位，y减少2个单位；
（2）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3，则2x-3y的取值范围是（3，8）；
（3）函数f（x）=log_a（x-1）+1的图象过的定点A在直线mx-y+n=0上，则4^m+2ⁿ的最小值是2

2

；
（4）不等式

2x-2

x2+3x+5

≤a在x＞1时恒成立，则a≥

5

12

．
其中正确的说法序号是

 

．

Answer 1

考点：线性回归方程,基本不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据回归直线方程的x的系数是-2，得到变量x增加一个单位时，函数值要平均减少2个单位；
（2）根据已知的约束条件

-1＜x+y＜4 2＜x-y＜3

画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围；
（3）由题意，函数f（x）=log_a（x-1）+1的图象恒过定点A，由对数的性质可得出点A（2，1），再由点A在直线mx-y+n=0上，得到2m+n=1，利用基本不等式求出4^m+2ⁿ的最小值；
（4）求出y=

2x-2

x2+3x+5

（x＞1）的最大值，即可得出结论．

解答： 解：（1）回归直线

∧

y

=-2x+5，则x每增加1个单位，函数值要平均减少2个单位，故（1）不正确；
（2）画出不等式组

-1＜x+y＜4 2＜x-y＜3

表示的可行域如图示：
在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；
当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8，
∴z=2x-3y的取值范围是（3，8），故（2）正确；
（3）∵A（2，1），∴2m+n=1，∴4^m+2ⁿ≥2

22m+n

=2

2

，当且仅当4m=2n即或2m=n时取等号，∴4^m+2ⁿ的最小值是2

2

，故（3）正确；
（4）令y=

2x-2

x2+3x+5

，则令x-1=t（t＞0），∴y=

2t

t2+5t+9

=

2

t+ 9 t +5

≤

2

11

，当且仅当t=3，即x=4时，取等号，a≥

2

11

，故（4）不正确．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．