Question

已知抛物线y²=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；
（Ⅱ）求△ANB面积的最小值；
（Ⅲ）当点M的坐标为（m，0）（m＞0，且m≠1）．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线NA，NB的斜率是否互为相反数？
②△ANB面积的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）先设直线方程，然后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和与两根之积，即可表示出y₁y₂，然后表示出直线NA，NB的斜率再相加，整理可得k_NA+k_NB=0，得证．
（2）根据S△NAB=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，再由（1）中的两根之和与两根之积的结果可求出S_△NAB=4

1+ 1 k2

＞4，而当l垂直于x轴时，S_△NAB=4可得到△ANB面积的最小值为4．
（3）根据（1）（2）中的计算和结论可得到推论①k_NA=-k_NB；②△ANB面积的最小值为4m

m

．

解答：解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2k2+4

k2

，x1x2=1．
∴y₁y₂=-4∵N（-1，0）kNA+kNB=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

4y1

y 2 1 +4

+

4y2

y 2 2 +4

=

4[y1( y 2 2 +4)+y2( y 2 1 +4)]

( y 2 1 +4)( y 2 2 +4)

=

4(-4y2+4y1-4y1+4y2)

( y 2 1 +4)( y 2 2 +4)

=0．
又当l垂直于x轴时，点A，B关于x轴，显然k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．
综上，k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．
（Ⅱ）S△NAB=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4(x1+x2)+8

=4

1+ 1 k2

＞4．
当l垂直于x轴时，S_△NAB=4．
∴△ANB面积的最小值等于4．
（Ⅲ）推测：①k_NA=-k_NB；
②△ANB面积的最小值为4m

m

．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线联立消去y得到关于x的一元二次方程，然后求出两根之和与两根之积，再结合题中所给条件进行解答是解答这种题型的一般思路．