Question

某商品在30天内的销售价格p（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式为p（t）=

t+20，t∈(0，25)，t∈N -t+100，t∈[25，30]，t∈N

．该商品的日销售量q（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式q（t）=-t+40（t∈（0，30]，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是这30天中的第几天？

Answer 1

分析：由已知中销售价格p（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式和商品的日销售量q（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式，可得日销售金额为f（t）与时间t（单位：天）的函数关系式，结合二次函数的图象和性质及分段函数最值的求法，可得答案．

解答：解：设日销售金额为f（t）
则f(t)=p(t)q(t)=

(t+20)(-t+40)，t∈(0，25)，t∈N (-t+100)(-t+40)，t∈[25，30]，t∈N

即f(t)=

-t2+20t+800，t∈(0，25)，t∈N t2-140t+4000，t∈[25，30]，t∈N

…（4分）
当t∈（0，25），f（t）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900
此时f（t）≤f（10）=900…（8分）
当t∈[25，30]时，f（t）=t²-140t+4000=（t-70）²-900
此时f（t）≤f（25）=1125…（12分）
故f_max=f（25）=1125…（14分）
答：在第25天销售额最大，为1125元．…（15分）

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，理解分段函数的能力．