Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=C(C为常数)成立，则称函数f（x）在D上均值为C，给出下列四个函数①y=x³，②y=

2x

x-1

，③y=lg|x|，④y=2^x，则满足在其定义域上均值为2的函数有

①②

（填上所有合题的函数序号）．

Answer 1

分析：由题意可得，均值为2，则

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4，要满足已知的条件，则必需使所求的函数单调函数，还得让函数满足值域为R，然后结合已知函数逐项排除．

解答：解：由题意可得，均值为2，则

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4
①：y=x³在定义域R上单调递增，对应任意的x₁，则存在唯一x₂满足x₁³+x₂³=4①正确
②：y=

2x

x-1

，在（-∞，1），（1，+∞）上单调递减，对应任意的x₁，则存在唯一x₂满足

2x1

x1-1

+

2x2

x2-1

=4②正确
③y=lg|x|在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增，
对应任意的x₁＞0，则满足lg|x₁|+lg|x₂|=4的x₂存在两个值使之成立，故③不正确
④y=2^x满足2^x₁+2^x₂=4，令x₁=3时，x₂不存在④错误
故答案为：①②．

点评：本题主要考查了函数的新定义，解决问题的关键是要根据已知定义，把题中的定义进行转化，要求考生具备阅读转化的能力，属于中档题．