Question

18．如图1，在边长为$2\sqrt{3}$的正方形ABCD中，E、O分别为 AD、BC的中点，沿 EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2，点G 在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点．
（Ⅰ）求证：OE⊥MN；
（Ⅱ）求点M到平面OEG的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取OG的中点的H，连结HN，HB，证明$HN=\frac{1}{2}OE$，推出四边形MNHB为平行四边形，得到MN∥BH，证明OE⊥平面OBC，然后推出OE⊥MN．
（Ⅱ）说明点M到平面OEG的距离为点B到平面OEG的距离，在三角形OBC中，推出∠OBG=30°，在△OBC中，求出BG=2，求出OG，然后求解点B到平面OEG的距离．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）如图6，取OG的中点的H，连结HN，HB，…（1分）
由N为EG中点，得△GOE中位线HN∥OE，且$HN=\frac{1}{2}OE$，
又BM∥OE，M为且AB中点，故$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}OE$，
∴HN∥BM，且HN=BM∴四边形MNHB为平行四边形，
∴MN∥BH．…（2分）
在正方形ABCD中，E、O分别为 AD、BC的中点
∴$\left\{\begin{array}{l}OE⊥OB\\ OE⊥OC\\ OB∩OC=O\end{array}\right.$得OE⊥平面OBC，…（3分）
又BH?平面OBC，∴OE⊥BH，∴OE⊥MN．…（5分）
（Ⅱ）解：∵在边长为$2\sqrt{3}$的正方形ABCD中，E、O分别为 AD、BC的中点
∴AB∥OE，又OE?平面OEG，AB?平面OEG，∴AB∥平面OEG，…（6分）
∴点M到平面OEG的距离为点B到平面OEG的距离．…（7分）
在三角形OBC中，OB=OC=$\sqrt{3}$，∠BOC=120°，∴∠OBG=30°，
在△OBC中，由余弦定理得BC=3，又BG=2GC，∴BG=2，
同法由余弦定理得OG=1，…（9分）
∴OB²+OG²=BG²，即OB⊥OG．
由（Ⅰ）知OE⊥平面OBC，又OB?平面OBC，∴OE⊥OB，
又OE∩OG=O，∴BO⊥平面OEG，…（11分）
∴点B到平面OEG的距离为BO=$\sqrt{3}$．
即点M到平面OEG的距离为$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题列出直线与平面垂直的性质定理的应用，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．