Question

18．过点P（-1，1）作圆C：（x-t）²+（y-t+2）²=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量数量积的定义可求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：圆C：（x-t）²+（y-t+2）²=1的圆心坐标为（t，t-2），半径为1，
∴PC=$\sqrt{（t+1）^{2}+（t-3）^{2}}$=$\sqrt{2（t-1）^{2}+8}$≥2$\sqrt{2}$，PA=PB=$\sqrt{P{C}^{2}-1}$，
cos∠APC=$\frac{AP}{PC}$，∴cos∠APB=2（$\frac{AP}{PC}$）²-1=1-$\frac{2}{P{C}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（PC²-1）（1-$\frac{2}{P{C}^{2}}$）=-3+PC²+$\frac{2}{P{C}^{2}}$$≥-3+8+\frac{1}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为$\frac{16}{3}$．
故答案为$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于中档题．