Question

已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在[0，1]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：由f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，
（1）把x=1代入f（x）中求出f（1）的值即为切点的纵坐标，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，根据切点和斜率写出切线的方程，又切线l与已知圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）根据负数没有对数得到f（x）的定义域，且根据a大于0，比较导函数为0和不存在时x的值的大小，然后根据x的值分两种情况讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（3）分2-

1

a

大于等于1和小于1两种情况即a大于等于1和a小于1大于0两种情况，根据（2）求出的函数的单调区间，即可得到相应区间的f（x）的最大值和最小值．

解答：解：由f（x）=ln（2-x）+ax，得到f′(x)=

a(x- 2a-1 a )

x-2

，
（1）把x=1代入f（x）得：f（1）=a，则切点坐标为（1，a），
把x=1代入导函数中得：f′（1）=a-1，则切线的斜率k=a-1，
所以切线方程l为：y-a=（a-1）（x-1），即（a-1）x-y-1=0，
由l与圆（x+1）²+y²=1相切，又圆心坐标（-1，0），半径r=1，
则圆心到直线l的距离d=

|a|

(a-1)2+1

=r=1，解得a=1；
（2）由2-x＞0，解得x＜2，得到f（x）的定义域为x＜2，又a＞0，得到2-

1

a

＜2，
①当x＜2-

1

a

时，f′（x）＞0，函数单调增；①当2-

1

a

＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调减，
∴f（x）的单调区间为：(-∞，2-

1

a

)增；(2-

1

a

，2)减；
（3）由（2）求出的函数的单调区间：(-∞，2-

1

a

)增；(2-

1

a

，2)减，
①当2-

1

a

≥1，即a≥1时，f（x）在区间[0，1]上为单调增函数，所以f（x）_max=f（1）=a，f（x）_min=f（0）=ln2；
②当2-

1

a

＜1，即0＜a＜1时，所以f（x）_max=f（2-

1

a

）=2a-1-lna，f（x）_min=min{f（1），f（0）}；
综上，得到：f(x)min=

ln2，当a＞ln2 a，当0＜a≤lg2

，f(x)max=

2a-1-lna，当0＜a＜1 a，当1≤a

．

点评：此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负得到函数的单调区间，掌握直线与圆相切时满足的条件，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．