Question

【题目】（本小题满分16分）设数列的前n项和为，数列满足:,且数列的前

n项和为.

(1) 求的值；

(2) 求证：数列是等比数列；

(3) 抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：.

Answer 1

【答案】解:(1)由题意得:;………………1分

当n=1时,则有:解得:;

当n=2时,则有:,即,解得:;

………………2分

(2)由①得:

② ………………3分

② - ①得:,

即:即:; ……………5分

,由知:

数列是以4为首项,2为公比的等比数列.…………………………………8分

(3)由(2)知:,即……………………9分

当n≥2时,对n=1也成立,

即(n………………………………………………………….…10分

数列为,它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；…………………11分

当n="2k-1"时,

…………………14分

当n="2k"时,

.……………………………………………………………16分

【解析】

(1)给n取值求出的值.(2)由题得数列是等比数列.(3)证明当n=2k-1 时,. 当n=2k 时,,综合即得.

(1)由题意得: ;

当n=1时,则有: 解得: ;

当n=2时,则有: ,即,解得: ;

。

(2) 由 ① 得:

②

② - ①得: ,

即: 即:;

,由知:

数列是以4为首项,2为公比的等比数列.

(3)由(2)知: ,即，

当n≥2时, 对n=1也成立,

即(n，

∴数列为,它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；

偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；

∴当n=2k-1 时,

，

∴当n=2k 时,

，

，

.

.