Question

已知函数f（x）=x|x|+px+q（x∈R），给出下列四个命题：①f（x）为奇函数的充要条件是q=0；②f（x）的图象关于点（0，q）对称；③当p=0时，方程f（x）=0的解集一定非空；④方程f（x）=0的解的个数一定不超过两个．
其中所有正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①q=0时，可由奇函数的定义判断正确，反过来也成立．②由①可知q=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+px+q的图象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位，故关于（0，q）对称正确；③当p=0时，函数f（x）=x|x|（x∈R）是增函数，方程f（x）=0的解集一定非空；④中取p=-1，q=0，即可判断错误．

解答：解：①q=0时，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函数，反之也成立，故①正确；
②由①可知q=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+px+q的图象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位，故关于（0，q）对称正确；
对于③当p=0时，函数f（x）是增函数，方程f（x）=0的解集一定非空，正确；
对于④取p=-1，q=0，则f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④错误；
故答案为：①②③．

点评：本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题，综合性强，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．