Question

已知函数f（x）=lnx+ax²（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间，
（2）化简不等式，分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值，问题得以解决．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则x＞0，
函数的导数f′（x）=

1

x

+2ax=

2ax2+1

x

，
若a≥0，则f'（x）＞0，此时函数单调递增，即增区间为（0，+∞）．
若a＜0，由f′（x）＞0得x＞

1

-2a

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

1

-2a

，即此时函数的减区间为（0，

1

-2a

），增区间为（

1

-2a

，+∞），
综上：若a≥0，函数的增区间为（0，+∞）．
若a＜0，函数的减区间为（0，

1

-2a

），增区间为（

1

-2a

，+∞）．
（2）∵xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴2ax²+1-lnx-ax²＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴a＞

lnx-1

x2

在（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=

lnx-1

x2

，
∴g′（x）=

3-2lnx

x3

，
由g′（x）＜0得x＞e

3

2

，函数单调递减，
由g′（x）＞0得0＜x＜e

3

2

，函数单调递增，
∴当x=e

3

2

时，函数g（x）有最大值，即g（x）_max=g（e

3

2

）=

1

2e3

，
∴a＞

1

2e3

点评：本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及恒成立问题，分离参数，求最值是常用的方法，属于中档题