Question

（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=

π

6

处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=

6cos4x-sin2x-1

f(x+ π 6 )

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出A，利用函数经过的特殊点求出φ，推出f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数g（x）=

6cos4x-sin2x-1

f(x+ π 6 )

的表达式，通过cos²x∈[0，1]，且cos2x≠

1

2

，求出g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的周期为T=π，即

2π

ω

=π，解得ω=2．
因此f（x）在x=

π

6

处取得最大值2，所以A=2，从而sin（2×

π

6

+φ）=1，
所以

π

3

+φ=

π

2

+2kπ  ，k∈z，又-π＜φ≤π，得φ=

π

6

，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）函数g（x）=

6cos4x-sin2x-1

f(x+ π 6 )

=

6cos4x-sin2x-1

2sin(2x+ π 2 )

=

6cos4x-sin2x-1

2cos2x

=

6cos4x-sin2x-1

2(2cos2x -1)

=

6cos4x+cos2x-2

2(2cos2x -1)

=

(3cos2x+2)(2cos2x-1)

2(2cos2x -1)

=

3

2

cos2x+1  (cos2x≠

1

2

)
因为cos²x∈[0，1]，且cos2x≠

1

2

，
故g（x）的值域为[1，

7

4

)∪(

7

4

，

5

2

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力．