Question

【题目】如图,四楼锥中,平面平面,底面为梯形. ，且与均为正三角形. 为的中点为重心, 与相交于点.

(1)求证: 平面；

(2)求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）第（1）问，连交于,连接.证明// ，即证平面. (2)第(2)问，主要是利用体积变换， ,求得三棱锥的体积.

试题解析：

（1）方法一：连交于,连接.

由梯形， 且，知

又为的中点， 为的重心，∴

在中， ,故// .

又平面, 平面,∴ 平面.

方法二：过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,

G为△PAD的重心，

又ABCD为梯形，AB||CD,

又由所作GN||AD,FM||AD,得// ，所以GNMF为平行四边形.

因为GF||MN,

（2） 方法一:由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点

∴， ，得平面，且

由（1）知//平面，∴

又由梯形ABCD，AB||CD，且，知

又为正三角形，得，∴，

得

∴三棱锥的体积为.

方法二: 由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点

∴， ，得平面，且

由，∴

而又为正三角形，得，得.

∴，

∴三棱锥的体积为.