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    （2013•徐汇区一模）对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a，公比为正整数q（q＞0）的无穷等比数列{an}的子数列问题．为此，他任取了其中三项ak，am，an（k＜m＜n）．
    （1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比数列，求k，m，n之间满足的等量关系；
    （2）他猜想：“在上述数列{an}中存在一个子数列{bn}是等差数列”，为此，他研究了ak+an与2am的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
    （3）他又想：在首项为正整数a，公差为正整数d的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题，并加以证明．
    分析：（1）依题意，由am2=ak•an，即可求得k，m，n之间满足的等量关系；
    （2）利用作差法判断（ak+an）-2am的结果是否为0即可判断上述猜想是否正确；
    （3）命题：对于首项为正整数a，公差为正整数d的无穷等差数列{an}，总可以找到一个无穷子数列{bn}，使得{bn}是一个等比数列，此命题是真命题，；
    证法一：利用二项式定理（1+d）n=（1+
    C
    1
    n
    d+
    C
    2
    n
    d2+…+
    C
    n
    n
    dn），即可证明a（Md+1）=a+aMd是{an}中的第aM+1项（M=
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    d+…+
    C
    n
    n
    dn-1为正整数）；
    证法二：先猜想，再利用数学归纳法证明即可．
    解答：解：（1）由已知可得：ak=aqk-1，am=aqm-1，an=aqn-1，…（1分）
    则am2=ak•an，即有（aqm-1）2=（aqk-1）（aqn-1），…．（3分）
    2（m-1）=（k-1）+（n-1），化简可得．2m=k+n．…..（4分）
    （2）ak+an=aqk-1+aqn-1，又2am=2aqm-1，
    故 （ak+an）-2am=aqk-1+aqn-1-2aqm-1=aqk-1（1+qn-k-2qm-k），…..（6分）
    由于k，m，n是正整数，且n＞m，则n≥m+1，n-k≥m-k+1，
    又q是满足q＞1的正整数，则q≥2，
    1+qn-k-2qm-k≥1+qm-k+1-2qm-k=1+q•qm-k-2qm-k≥1+2qm-k-2qm-k=1＞0，
    所以，ak+an＞2am，从而上述猜想不成立．…..（10分）
    （3）命题：对于首项为正整数a，公差为正整数d的无穷等差数列{an}，总可以找到一个无穷子数列{bn}，使得{bn}是一个等比数列．…（13分）
    此命题是真命题，下面我们给出证明．
    证法一：只要证明对任意正整数n，bn=a（1+d）n，n≥1都在数列{an}中．因为bn=a（1+d）n=a（1+
    C
    1
    n
    d+
    C
    2
    n
    d2+…+
    C
    n
    n
    dn）=a（Md+1），
    这里M=
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    d+…+
    C
    n
    n
    dn-1为正整数，所以a（Md+1）=a+aMd是{an}中的第aM+1项，证毕．…..（18分）
    证法二：首项为a，公差为d（ a，d∈N*）的等差数列为a，a+d，a+2d，…，考虑数列{an}中的项：
    a+ad，a+（2a+ad）d，a+（3a+3ad+d2）d，…
    依次取数列{bn}中项b1=a+ad=a（1+d），b2=a+（2a+ad）d=a（1+d）2，b3=a+（3a+3ad+d2）d=a（1+d）3，则由a＜2a+ad＜3a+3ad+d2，可知
    b2
    b1
    =
    b3
    b2
    ，
    并由数学归纳法可知，数列bn=a（1+d）n，n≥1为列{an}的无穷等比子数列…（18分）
    点评：本题考查等差与等比关系的确定，考查数学归纳法与分析法证明问题的能力，考查考查创新思维与逻辑思维能力及综合运算的能力，属于难题．
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    		3
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    DB
    •
    DM
    的最小值为
    23
    16
    23
    16
    ．

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    .
    2x+1    20
    0             2x1
    3             2-1
    .
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    x≤0
    x≤0
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    2-1   1
    1  3  -2
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    1
    2
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    x-
    1
    3
    x-
    1
    3
    ．

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